게임수학) 벡터 - 2

벡터 연산

덧셈, 뺄셈, 교환법칙, 결합법칙

기하벡터의 경우에는 시각적으로 벡터를 보여줄수 있으므로, 기초적인 연산법칙이 성립한다는 것을 보여주는것도 쉽다.

 

우리가 고등학?생때 배웠었던 덧셈, 뺄셈, 교환법칙, 결합법칙을 벡터에서도 성립한다는 것을 그림을 통해 알 수 있다.

증명은 생략하고 대신 설명을 한번 해보자.

 

교환법칙이란 a + b를 순서를 바꿔서 b + a로 표기해도 성립한다는 내용이다. 그림에서는 좌상단에 해당한다.

벡터 b와 크기는 같으나 방향이 정반대인 벡터를 역벡터 -b로 정의하는데, 우상단에 해당한다.

원본 벡터와 그 역벡터를 더하면 영벡터가 된다. 우상단 그림에서 b와 -b벡터가 합이 0이 되는것을 확인할 수 있다.

마지막으로 (a + b) + c = a + (b + c)와 같이 괄호의 위치를 이동해도 결과가 같은 상태를 결합법칙이 성립했다고 한다.

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스칼라 곱셈, 나눗셈

벡터끼리 덧셈 뺄셈은 참 쉬웠다. 그런데 벡터에 스칼라를 곱해서 곱셈, 나눗셈을 하라고 하면 무슨 소리인지 모를 것이다.

참 쉬운 개념이지만 글만으로는 이해가 안가는 여러분들도 그림을 보면 무슨 소리인지 알 것이다.

 

그림처럼 (a + b)에 스칼라에 해당하는 2를 곱하자 길이가 두배인 2a + 2b가 되어버렸다. 이게 끝이다.

또한 c(a + b) = ca + cb와 같이 분배법칙이 성립한다.

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단위벡터

사실 그림으로 야매로 이해하는것도 좋긴 하지만 수학적으로 어떻게 이루어지는건지를 알기는 해야 한다.

단위벡터는 그 첫걸음이다.

단위벡터란 크기가 1인 벡터를 말한다. 단위벡터 u를 만드려면 벡터 a를 벡터의 크기 |a|로 나눠서 구할 수 있다.

이러한 과정을 벡터를 정규화한다 라고 표현하기도 한다.

법선벡터

법선이란 곡선이나 곡면에 수직인 선을 의미한다.

즉, 법선 벡터란 2D상에서는 어떤 벡터에 수직인 벡터이고, 3D인 경우에는 어떤 평면에 수직인 벡터가 되는 셈이다.