게임수학) 삼각함수 - 3

덧셈정리

이전 포스트에서 단위원에 대해 소개했었다.

단위원을 이용하면 내각이 90도를 넘더라도 삼각함수의 수치를 구할수 있었다.

 

이제 이 그림을 한번 보자.

 

똑똑한 여러분들은 점 P를 P'의 위치로 옮기게 된다면 내각이 α+β가 되어 좌표가 cos(α+β), sin(α+β)가 된다는 것을 알 수 있을 것이다.

그렇다면 이 cos(α+β), sin(α+β)는 어떻게 구할 수 있을까?

 

덧셈정리라는 공식을 이용하면 다음과 같이 결론이 나오게 된다.

 

 

자세한 증명에 대해서는 생략하겠다. 어차피 고등학교 수학 수준이니 나무위키만 찾아도 나올 것이다.

 

이 덧셈정리를 P'에 적용해보면 원래의 점 P(cosα, sinα)를 β만큼 회전한 점 P'의 위치는 다음과 같이 나오게 된다.

 

덧셈정리를 응용하면 반각공식, 배각공식 등 다양한 공식을 도출할 수 있지만 생략하겠다.

 

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사인파, 코사인파

이제 우리는 90도보다 큰 각도도 단위원을 이용하여 사인과 코사인의 값을 시각적으로 표현할 수 있게 되었다.

이번에는 그래프로 삼각함수를 그려보도록 하자.

 

θ의 라디안을 가로축으로, 사인 값을 세로축으로 하는 그래프를 생각해보자.

사인함수는 -1~1 사이의 값들을 2π의 주기로 진동하게 된다. 이 주기를 기본주기라고 한다.

일반적으로 상수 P에 대해서 f(x + P) = f(x)가 성립한다면  그 함수를 주기함수라고 부르지만, 사인함수는 P = 2π이다.

즉, 다음 식이 성립하게 된다.

이를 그림으로 나타내보면 다음과 같은 그래프가 나오게 된다.

 

한편, 주파수라는 개념을 생각해 볼수 있다.

주파수는 주기의 역수를 말하는데, 주기가 2π인 사인파의 주파수는 1/2π가 된다.

 

코사인파 또한 쉽게 그릴수 있다. 다만, 사인파와 주기가 π/2 어긋나있다.

코사인파는 사인파와 달리 0부터 시작하는 것이 아니라 1 -> 0 -> -1 -> 0... 순으로 진동하게 된다.